Компьютерное моделирование в математической физике

Цели и задачи учебной дисциплины: Известный математик академик РАН В.С. Владимиров в одной из своих работ (2006 год) писал: “ Математическая физика – это теория математических моделей физических явлений... Первоначально математическая физика сводилась к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Это направление составляет предмет классической математической физики, которая сохраняет важное значение и в настоящее время... В XX в. появляются новые разделы физики: квантовая механика, квантовая теория поля, квантовая статистическая физика, теория относительности, гравитация (А. Пуанкаре, Д. Гильберт, П. Дирак, А. Эйнштейн, Н. Н. Боголюбов, В. А. Фок, Э. Шрёдингер, Г. Вейль, Р. Фейнман, Дж. Фон Нейман, В. Гейзенберг). Для изучения этих явлений множество используемых математических средств значительно расширяется: наряду с традиционными областями математики стали широко применяться теория операторов, теория обобщённых функций, теория функций многих комплексных переменных, топологические и алгебраические методы, теория чисел, p - адический анализ, асимптотические и вычислительные методы. С появлением ЭВМ существенно расширился класс математических моделей, допускающих детальный анализ; появилась реальная возможность ставить вычислительные эксперименты, например, моделировать взрыв атомной бомбы или работу атомного реактора в реальном масштабе времени. В этом интенсивном взаимодействии современной теоретической физики и современной математики оформилась новая область – современная математическая физика. Её модели не всегда сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений...”. То есть, математические модели объектов современной физики представляют собой сложный формализм, который часто невозможно отнести к какому-то одному направлению математической науки. Кроме того, задачи современной математической физики очень редко имеют аналитические решения. Эти задачи преимущественно решаются численно на компьютерах (а в настоящее время и на суперкомпьютерах) с применением различного рода алгоритмов. Фактически используется знаменитая триада "модель – алгоритм – программа", введенная академиком РАН А. А. Самарским и названная им “компьютерным моделированием”. Опираясь на эту методологию, школа А. А. Самарского предложила концепцию "вычислительного эксперимента", предназначенную для изучения систем и процессов в случаях, когда натурный эксперимент оказывается слишком дорогим, сложным или невозможным (например, при моделировании явлений в астрофизике, моделировании ядерных взрывов в условиях запрета натурных испытаний и т. п.). Исследователь, проводящий вычислительный эксперимент, обязан понимать его результаты и, в случае необходимости, уметь вносить коррективы в физическую модель, которые могут модифицировать и математическую модель. Однако, учитывая недостаточный уровень владения современной физикой студентами, обучаемыми по магистерской программе “Параллельное программирование и распределенные вычисления”, в данном курсе мы ограничимся компьютерным моделироваем в понимании А. А. Самарского: "модель – алгоритм – программа". Учитывая колоссальное влияние, которое оказала и продолжает оказывать квантовая механика на фундаментальные науки и технологии, основной целью курса “Компьютерное моделирование в математической физике” является изучение типичных математических моделей многоатомных квантовых систем, а также выполнение компьютерного моделирования с использованием этих моделей. Результаты компьютерного моделирования многоатомных квантовых систем актуальны не только в академическом плане, но и являются теоретической базой для таких прикладных направлений как нанотехнологии, микроэлектроника, фармакология (создание химических соединений с новыми свойствами) и многих других. В задачи курса входят: уверенное овладение студентами формализмом изучаемых моделей и приемами их программной реализации; приобретение обучаемыми навыков численного решения некоторых стандартных задач математической квантовой физики многоатомных систем с использованием написанных ими оригинальных кодов и современных научных программных комплексов.